Question

如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F. 求证：∠APE=∠CPE

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Answer 1

【简单一道题，不要复杂化】
证明：
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N
∵AB=CD
∴OM=ON【同圆内，弦相等，弦心距相等】
又∵OP=OP，∠OMP=∠ONP=90º
∴Rt⊿OMP≌Rt⊿ONP（HL）
∴∠MPO=∠NPO
即∠APE=∠CPE

Answer 2

连接OC,OD,OA,OB,
OC=OA,OD=OB,AB=CD,
三角形AOB全等三角形COD
∠OAP=∠OCP
OC=OA
OP=OP
三角形OCP全等三角形OAP
∠APE=∠CPE

Answer 3

连接oa,ob,oc,od
角aoe等于角coe
因为ab=cd
所以弧ab=弧cd
所以角aob=角cod
所以角aoe+角aob=角coe+角cod
所以角eob=j角eod
所以180度-角eob=180度-角eod
所以角bop=角dop
又因为oa=ob，op为公共边
三角形aop全等于三角形cop
所以∠APE=∠CPE，即为所求