1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，
2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，
3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。
那么当n=k+1时，
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，
而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(K+1))
=(K+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2K+3)*(K+2)
=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6，
即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6也满是公式。
所以根据数学归纳法，对一切自然数n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
扩展资料：
数列求和的方法
1、闹搭昌公式法
（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（液扒a1-d/2）*n
（枝亩2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）
（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、裂项相消法
（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）
（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））
参考资料来源：百度百科-数列求和
