Question

在三角形ABC中.角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m=(2cosA/2,sinA/2),n=(cosA/2,_2sinA/2),m·n=-1

《1》求cosA的值；《2》若a=2根3，b=2,求的c值

Answer 1

m=(2cosA/2,sinA/2),n=(cosA/2,-2sinA/2),
所以m•n=2cos²(A/2)-2sin²(A/2)=2 cosA,
因为m•n=-1
所以2 cosA=-1, cosA=-1/2.

根据余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bc cosA,
将a=2根3，b=2, cosA=-1/2代入得：
12=4+c^2-2*2*c*(-1/2),
即c^2+2c-8=0,
所以c=2.

Answer 2

∵向量 m=(2cosA2，sinA2)， n=(cosA2，-2sinA2)， m•n=-1，
∴2cos2 A2-2sin2 B2=-1，
∴1+cosA+cosB-1=-1，
∴cosA+cosB=-1．
由余弦定理得 b2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac=-1，
又a=23，b=2，代入化为(3+1)c2+43c+8(1-3)=0，解得c= 21-7+3-3．
故答案为 21-7+3-3．