Question

线性代数题哈 设A,B为n阶正交矩阵,且|A|不等于|B|,证明A＋B为不可逆矩阵

Answer 1

用A'表示A的转置,
A*A'=A'*A＝I,两边去行列式：|A|＝1或－1
同理|B|＝1或－1
|A|不等于|B|,则两个中一个是1,一个是－1
考察下式：
A'*（A+B）*B'＝（I＋A'B）*B'＝B'＋A'
两边去行列式：
|A'|*|A+B|*|B'|=|B'+A'|
-|A+B|=|B'+A'|=|A+B|
所以|A+B|=0,即A+B不可逆.