Question

空间向量中,如何求平面的法向量

如题

Answer 1

已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知
设平面法向量为n=(x,y,z)
n为平面的法向量则
n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0
n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0
两个方程，三个未知数x,y,z
故设出其中一个，例如设x=1（不能为0），从而求出y,z的值，即可得到平面的一个法向量，因为平面的法向量有无数个，且模可以任意，故可以这样假设

Answer 2

Ax+By+Cz+D=0 ，三元一次方程就是一个平面的一般方程。
一个平面方程的法向量就是三元一次方程中x,y,z的系数组合向量，即：向量n={A,B,C}就是Ax+By+Cz+D=0的法向量.也可以写成：法向量n=A向量i+B向量j+C向量k,向量i,向量j,向量k分别是x,y,z的单位向量。

以x+2y+z=4为例，它的法向量是 向量n=(1,2,1)是平面x+2y+z-4=0的法向量。

一些特例，若A=0,向量n=(0,B.C)垂直于X轴，它所代表的平面By+Cz+D=0则平行于x轴。同理，Ax+Cz+D=0平行于y轴，法向量n=(A,0,C)垂直于y轴；Ax+By+D=0平行于z轴，法向量n=(A,B,0)垂直于z轴。当D=0时，平面过原点。