Question

求球面x^2+y^2+z^2=1在第一卦限部分的切平面,使它与三坐标轴平面围成的四面体有最小体积

Answer 1

球面在第一卦限的法向量为(x0，y0，z0)，切平面方程为(x－x0)x0+(y－y0)y0+(z－z0)z0＝0，即xx0+yy0+zz0＝1。与三坐标轴的交点为(1/x0，1/y0，1/z0)，四面体的体积为1/(6x0y0z0)，因此问题就是求x0y0z0的最大值，条件为x0^2+y0^2+z0^2=1。由于1＝x0^2+y0^2+z0^2>=3×三次根号(x0^2y0^2z0^2)，于是x0y0z0<=1/根号(27)，故最小体积是根号(27)/6＝根号(3)/2。当且仅当x0＝y0＝z0＝1/根号(3)时达到最小体积。