Question

一道初中找规律题。。。求答案……

阅读下列材料:
1×2=1/3(1×2×3-0×1×2)；
2×3=1/3（2×3×4-1×2×3）；
3×4=1/3（3×4×5-2×3×4）
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=____；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=_____.
猜想1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+n(n+1)(n+2)的值

Answer 1

（1)1*2+2*3+3*4+...+10*11(写出过程)
=1/3*10*11*12
=440

(2)1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)
=1/3*n(n+1)(n+2)

(3)1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+7*8*9
1*2*3=1/4*(1*2*3*4-0*1*2*3)
……
7*8*9=1/4*(7*8*9*10-6*7*8*9)
所以=1/4*7*8*9*10=1260

追问

5555~~我最想问的是为什么(3)1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+7*8*9
1*2*3=1/4*(1*2*3*4-0*1*2*3)
……
7*8*9=1/4*(7*8*9*10-6*7*8*9)
所以=1/4*7*8*9*10=1260 啊……？

追答

1. 由例子可得，前一个式子的前项和后一个式子的后项相消，
如1*2+2*3=1∕3（1×2×3－0×1×2）+1∕3（2×3×4－1×2×3）=1/3*2*3*4=8，
所以式子相加的结果就只剩下最后一个的前项，则有：原式=1/3*10*11*12=440
2. 由例子可以仿照得：1*2*3=1/4（1*2*3*4-0*1*2*3）
2*3*4=1/4（2*3*4*5-1*2*3*4）
原理与第一题相同，每项相消，则有：原式=1/4*7*8*9*10=1260