Question

在三角形ABC中,AC=2BC,若AB=3,则三角形ABC的最大面积为?

Answer 1

设p为三角形的半周长,那么三角形面积S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
设BC＝x,那么：
p=(x+2x+3)/2=3(1+x)/2
p-a=p-x=(3+x)/2
p-b=p-2x=(3-x)/2
p-c=p-3=3(x-1)/2
因此：
S^2=9(1+x)(3+x)(3-x)(x-1)/16
这样就转化为关于x^2的二次三项式：
设x^2=t,那么
S^2=(9/16)(x^2-1)(9-x^2)
=(9/16)(t-1)(9-t)
=(9/16)(-t^2+10t-9)
=(9/16)[-(t-5)^2+16]
因此在t=5时S^2取到最大值9,也就是说当x为根号5时,该三角形的面积取到最大值3.
后记：
解这个题,需要知道三角形面积公式的多种形态,建议去找找,会有好处,比如上面的公式好像叫做三角形面积的海伦公式,条件是已知三角形三条边的长.