Question

数学证明题！求高手详解

证明：f(x)在集D上有界的充要条件是它在D上既有上界又有下界

Answer 1

必要性：若f(x)在集D上有界
则：存在M>0,任给x∈D,都有|f(x)|≤M，即
-M≤f(x)≤M.
由此：f(x)在D上既有上界又有下界；
充分性：若f(x)在D上既有上界又有下界
则分别存在M>0,N>0,对于任给的x∈D,
分别有f(x)≤M且-N≤f(x)
取A=max{M,N}，则必有：f(x)≤M≤A,且-A≤-N≤f(x)
即：-A≤f(x)≤A，
也就是：|f(x)|≤A。
所以，f(x)在集D上有界。