Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的两边分别在x轴和y轴上，oa=8倍根号2（厘米），oc=8(厘米)，现有两动

点p,q分别从o,c同时出发，p在线段oa上沿oa方向以每秒根号2(cm)的速度匀速运动，q在线段co上沿co方向以每秒1（cm）的速度匀速运动。设运动时间为t秒。（3）当三角形opq与三角形pab和三角形qpb相似时，抛物线y=(1/4)x^2+bx+c经过b,p两点，过线段bp上一动点m作y轴的平行线交抛物线于n,当线段mn的长取最大值时，求直线mn把四边形opbq分成两部分的面积之比。
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Answer 1

三角形opq与三角形pab和三角形qpb相似时，则OQ=8-t，OP=t根号2，PA=8倍根号2-t根号2，AB=8，有OQ：PA=OP：AB，整理得t^2-12t+32，解得t=4(t=8不合题意，舍去），所以P的坐标为（4倍根号2，0），B的坐标为（8倍根号2，8），代入y=(1/4)x^2+bx+c，求得抛物线的解析式y=(1/4)x^2-（2根号2）x+8，直线PB的解析式求得为y=(根号2)x-8，设M[x，(根号2)x-8]，N为[x，(1/4)x^2-（2根号2）x+8]，MN=(根号2)x-8-[(1/4)x^2-（2根号2）x+8]=(-1/4)(x-6根号2)^2+2

设直线MN交QP于H，直线MN把四边形OPBQ分成五边形OPMHQ和三角形MHB两部分，M的坐标为（6根号2，4），H的坐标为（6根号2，7），五边形OPMHQ的面积S1=三角形OPQ的面积+三角形PMQ的面积+三角形MHQ的面积=0.5*4*4根号2+0.5*4*6根号2+0.5*3*6根号2=29根号2，三角形MHB的面积=0.5*3*2根号2=3根号2，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比=29：3

Answer 2

解：三角形opq与三角形pab和三角形qpb相似时，则OQ=8-t，OP=t根号2，PA=8倍根号2-t根号2，AB=8，有OQ：PA=OP：AB，整理得t^2-12t+32，解得t=4(t=8不合题意，舍去），所以P的坐标为（4倍根号2，0），B的坐标为（8倍根号2，8），代入y=(1/4)x^2+bx+c，求得抛物线的解析式y=(1/4)x^2-（2根号2）x+8，直线PB的解析式求得为y=(根号2)x-8，设M[x，(根号2)x-8]，N为[x，(1/4)x^2-（2根号2）x+8]，MN=(根号2)x-8-[(1/4)x^2-（2根号2）x+8]=(-1/4)(x-6根号2)^2+2
设直线MN交QP于H，直线MN把四边形OPBQ分成五边形OPMHQ和三角形MHB两部分，M的坐标为（6根号2，4），H的坐标为（6根号2，7），五边形OPMHQ的面积S1=三角形OPQ的面积+三角形PMQ的面积+三角形MHQ的面积=0.5*4*4根号2+0.5*4*6根号2+0.5*3*6根号2=29根号2，三角形MHB的面积=0.5*3*2根号2=3根号2，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比=29：3

Answer 3

（1）解：∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S△OPQ=12(8-t)•
2t=-
22t2+4
2t（0＜t＜8）；（3分）

（2）证明：∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△CBQ-S△PAB
=8×8
2-
12×8
2t-
12×8×(8
2-
2t)=322；（5分）
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322；（6分）

（3）解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴OQAP=OPAB，
∴8-t8
2-
2t=
2t8，
解得：t1=4，t2=8
经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑），
∴QO=4，
∴直线QB的解析式为：y=kx+b，
∴y=24x+4，
此时P（4
2，0）；
∵B（8
2，8）且抛物线y=
14x2+bx+c经过B、P两点，
∴抛物线是y=
14x2-2
2x+8，直线BP是：y=
2x-8（8分）．
设M（m，2m-8）、N（m，14m2-2
2m+8）．
∵M在BP上运动，
∴4
2≤m≤8
2
∵y1=
14x2-2
2x+8与y2=
2x-8交于P、B两点且抛物线的顶点是P；
∴当4
2≤m≤8
2时，y1＜y2（9分）
∴|MN|=|y1-y2|
=|14m2-22m+8-（2m-8）|
=2m-8-（14m2-22m+8）
=2m-8-14m2+22m-8
=-14m2+32m-16
=-
14(m-6
2)2+2，
∴当m=6
2时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则M(6
2，4)，H(6
2，7)；
∴S△BHM=12×3×2
2=3
2
∴S△BHM：S五边形QOPMH=3
2：(32
2-3
2)=3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）

Answer 4

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