Question

求i的1次方,2次方,3次方,4次方,5次方,6次方,7次方,8次方的值推测i的N次方有什么规律,并用式子表达出来

急!急!急!

Answer 1

i的n次方为周期函数，其周期为4，故当n为大于1的整数时，可以用如下的式子计算（下式中N为任意整数）
i^(1+4*N)=i
i^(2+4*N)=-1
i^(3+4*N)=-i
i^(4+4*N)=1

追问

我说的是复数

追答

复数？你是指哪个是复数？指数吗？你给的题目中可没说指数是复数，我以为只是整数了，不过如果你要求指数也为复数，那么好心人就再成全你一次。
首先，要算i的复数次幂，就要把i化也e指数的形式（z=ρe^(i*φ))，则
i=e^(π/2*i)
则i^n=(e^(π/2*i))^n=e^(π*n/2*i)
然后就用这个式子去算就行了
要化为x+iy这种形式，就利用公式z=ρcosφ+iρsinφ，如果再进一步，对于此题，还可进行化简，化简后的结果为
z=cos(π*n/2)+isin(π*n/2)
据此，亦可得i^n的周期为4
如果把n表示为n=x+yi这种形式，则
i^n=e^(π*y/2)*e^(π*x/2*i)
=e^(π*y/2)*(cos(π*x/2)+isin(π*x/2))
行了吗？