求微分方程(x^2＋1)dy／dx－2xy=(x^2＋1)^2的通解。
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【答案】：解:
先求(x∧2+ 1)y'-2xy=0的通解：
(x∧2+ 1)(dy/dx)-2xy=0
(x∧2+ 1)(dy/dx)=2xy
(x∧2+ 1)dy=2xydx
(x∧2+ 1)dy=yd(x^2)
(1/y)dy=[1/(x∧2+ 1)]d(x^2)
(1/y)dy=[1/(x∧2+ 1)]d(x^2+1)
两边积分：
ln|y|=ln(x^2+1)+lnC1
|y|=C1(x^2+1)
y=±C1(x^2+1)
即(x∧2+ 1)y'-2xy=0的通解：
y=C2(x^2+1)
设原方程的通解：
y=u(x)(x^2+1)
dy/dx=2xu(x)+[du(x)/dx](x^2+1)
代入原方程：
(x∧2+1){2xu(x)+[du(x)/dx](x^2+1)}-2xu(x)(x^2+1)=(1+ x∧2)∧2
2xu(x)(x∧2+1)+[du(x)/dx](x^2+1)(x∧2+ 1)-2xu(x)(x^2+1)=(1+ x∧2)∧2
[du(x)/dx](x^2+1)^2=(1+ x∧2)∧2
du(x)/dx=1
du(x)=dx
两边积分：
u(x)=x+C
因此原方程的通解：
y=(x+C)(x^2+1)
=x^3+x+Cx^2+C
先求(x∧2+ 1)y'-2xy=0的通解：
(x∧2+ 1)(dy/dx)-2xy=0
(x∧2+ 1)(dy/dx)=2xy
(x∧2+ 1)dy=2xydx
(x∧2+ 1)dy=yd(x^2)
(1/y)dy=[1/(x∧2+ 1)]d(x^2)
(1/y)dy=[1/(x∧2+ 1)]d(x^2+1)
两边积分：
ln|y|=ln(x^2+1)+lnC1
|y|=C1(x^2+1)
y=±C1(x^2+1)
即(x∧2+ 1)y'-2xy=0的通解：
y=C2(x^2+1)
设原方程的通解：
y=u(x)(x^2+1)
dy/dx=2xu(x)+[du(x)/dx](x^2+1)
代入原方程：
(x∧2+1){2xu(x)+[du(x)/dx](x^2+1)}-2xu(x)(x^2+1)=(1+ x∧2)∧2
2xu(x)(x∧2+1)+[du(x)/dx](x^2+1)(x∧2+ 1)-2xu(x)(x^2+1)=(1+ x∧2)∧2
[du(x)/dx](x^2+1)^2=(1+ x∧2)∧2
du(x)/dx=1
du(x)=dx
两边积分：
u(x)=x+C
因此原方程的通解：
y=(x+C)(x^2+1)
=x^3+x+Cx^2+C
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2024-10-13 广告
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