Question

已知2x²-xy-y²-3x-3y+k可分解为2个一次因式积，则k等于多少？

Answer 1

这是一个二元二次齐次方程，可以使用配方法进行求解。
将-xy拆开，将k视为常数项，原式可以重写为：
2x² - xy - y² - 3x - 3y + k = 2x² - 2xy + xy - y² - 3x - 3y + k
= 2x(x - y) + y(x - y) - 3(x + y) + k
= (x - y)(2x + y - 3) + k
因此，将原式因式分解为两个一次因式积，就是将其转化为(x - y)和(2x + y - 3)两个一次多项式的乘积。因为这是一个齐次方程，所以两个一次因式的系数应该是相同的。
由于2x²是二次项，所以2x必须出现在一个因式中，y²是二次项，所以y必须出现在另一个因式中。那么我们可以将两个一次多项式写成(x - y)和(2x + y - c)的形式，其中c是一个待定系数。
于是我们有：
2x = 2x
y = -y + (2x + y - c)
整理可得：
c = 3
因此，原式可以因式分解为(2x - y)(x - y - 3)的形式，k的值就等于-3。

Answer 2

2x²-xy-y²=(2x+y)(x-y)设 2x²-xy-y²-3x-3y+k=(2x+y+m)(x-y+n)
令 x=y=0，k=mn
令 x=1，y=0，2-3+k=(2+m)(1+n)=2+m+2n+mn，m+2n=-3 《代入了 k=mn》
令 x=0，y=1，-1-3+k=(1+m)(-1+n)=-1-m+n+mn，-m+n=-3 《代入了 k=mn》
m=1，n=-2，k=-2
∴ 2x²-xy-y²-3x-3y-2=(2x+y+1)(x-y-2)，k=-2