Question

概率论问题： 证明：若P(A|B)>P(A|B逆),则有P(B|A)>P(B|A逆)

求过程。好回答追加！！！

Answer 1

恰好这道题是我上学期作业做过的~
我说下我的证明，不一定是最好的，仅供参考。
约定一下符号，A的对立事件记为A'，/为分数线，比如A/B表示B分之A。

首先用逆概公式P(A|B')=P(A)P(B'|A)/P(B')=P(A)/P(B') ×(1-P(B|A))（因为P(B'|A)=1-P(B|A)）
用条件P(A|B)>P(A|B')得P(A|B)>P(A)/P(B') ×(1-P(B|A))解这个不等式，把P(A|B)放在左边，可得
P(A|B)>P(A)（其他量全部约去了，你可以自己演算一下）
然后再把P(B|A)和P(B|A')全用逆概公式写出来
P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(A)，P(B|A')=P(B)P(A'|B)/P(A')
之后既然要比较它们的大小，那就相除，看商和1的大小关系。
P(B|A')/P(B|A)=P(A)/P(A')×P(A'|B)/P(A|B)再用P(A'|B)=1-P(A|B)代入
得P(B|A')/P(B|A)=P(A)/P(A')×(1-1/P(A|B))
这时候要用到刚才好不容易得到的结论P(A|B)>P(A)了，用P(A)来替换P(A|B)上式右端会变大
P(B|A')/P(B|A)<P(A)/P(A')×(1-1/P(A))=[1-P(A')]/P(A)=1
于是P(B|A')/P(B|A)<1就证明了P(B|A)>P(B|A')

Answer 2

A'=A逆,B'=B逆
P(A|B)>P(A|B')-->P(AB)/P(B)>P(AB')/P(B')-->P(AB)P(B')>P(AB')P(B)-->
P(AB)-P(AB)P(B)>P(AB')P(B)-->P(AB)>P(AB)P(B)+P(AB')P(B)=P(A)P(B)
P(AB)>P(A)P(B)-->P(AB)/P(A)>P(B)-->P(B|A)>P(B)=P(B)P(A')/P(A')
[P(AB)>P(A)P(B)-->P(AB)>P(B)-P(A')P(B)-->P(A')P(B)>P(B)-P(AB)=P(BA')+P(BA)-P(AB)=P(BA')]
-->P(B|A)>P(B)=P(B)P(A')/P(A')>P(BA')/P(A')=P(B|A')