Question

给这几个命题的证明,谢谢!(高分悬赏)

1.若f(x+a)=f(b-x),对于x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2
成轴对称图形.
2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称.
3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期(未必是最小正周期,下同)
4.若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)都成中心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.
5.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,有关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-4a是它的一个周期.

这是我在一本参考书看到的,但弄不懂它们是如何来的.前2个还似懂非懂的,但后面3个就一头雾水了~~.懂得的帮我做一个证明,要详细的,谢谢了!!!
我是高三学生,所以证明不要超出高中数学的要求最好!!谢谢!

还有一个问题:若f(x)关于(a,c)对称,则有什么推论?谢谢~~,这个问题回答了我再加10分~!

Answer 1

1,很简单:当f(L-x)=f(x+L),那f(x)关于x=L对称
设x+a=k===>x=k-a
f(x+a)=f(b-x)===>f(k)=f(b+a-k)
则f((a+b)/2-x)=f(b+a-((a+b)/2-x))=f((a+b)/2+x)
所以y=f(x)关于x=(a+b)/2对称
2,函数y=f(a+(b-a)/2-x)=f((a+b)/2-x)
函数y=f(b-((b-a)/2+x))=f((a+b)/2-x)
所以他们的图象关于直线x=(b-a)/2对称
3,因为f(x-a)=f(a+x);f(x-b)=f(x+b)
令t=b-2a+x
则f(2b-2a+x)=f(b+t)=f(t-b)=f(x-2a)
令k=x-a
则f(x-2a)=f(k-a)=f(a+k)=f(x)
则有f(2b-2a+x)=f(x),所以2b-2a为f(x)的周期

Answer 2

关于直线X=(a+b)/2 或x=「(-a)+(-b)」/2

Answer 3

1、这个可以这样理解的，你自己随便找两个相等的点，然后找出中点就是他们的对称轴了。所以f(x+a)=f(b-x),可以令x=b,那么f(a+b)=f(0)
这样就可以找点a+b和0的中点，那么就是x=a+b/2
2、第二题你写错了，应该是y=f(a-x)与函数y=f(b-x)，同理，令x=b
那么f(a-b)=f(0),便可以得出对称轴了
3、由上面的定理易知，f(x+a)=f(a-x),f(x+b)=f(b-x),要证明2b-2a是它的一个周期，就是要证明f(x+2b-2a)=f(x)就可以了。有了这个目标我们就这么来变换上面的式子。
令x=t+b-2a,代入f(x+b)=f(b-x),就可以得出答案了
这些都是靠我们变换已知式子得到的，下面的你自己根据这个应该可以独立做出了吧！