Question

二次型矩阵 利用初等变换化二次型为标准型

Answer 1

　　摘 要 在高等代数这门课中，我们经常应用初等变换这一方法计算行列式的值、矩阵的逆、矩阵的秩。其实初等变换还有更广泛的应用，本文主要介绍利用初等变换方法将二次型为标准型。
　　关键词 初等变换 二次型 标准型
　　中图分类号：O156文献标识码：A
　　
　　
　　二次型f (X) = XTAX，矩阵A是一个对称矩阵，通常将二次型化为标准型的方法三种：（1）配方法；（2）正交变换法；（3）初等变换法。求解上述问题的一般步骤为：
　　（1）令|A -E| = 0，求得A全部不同的特征值 1, 2,…, 3， i(i = 1,2,…,s)的重数为ki,ki = n；
　　（2）对于每个 1(i = 1,2,…,s)，求出齐次线性方程组(A -iE)x = 0的一个基础解系,,…,，这时为列向量；
　　（3）对,,…,，进行施密特正交化过程，得到ki个属于 i的相互正交的特征向量,,…,(1≤i≤s)；
　　（4）将单位化得rij = , (1≤i≤s,1≤j≤ki)；
　　（5）令C = (,…,,…,…,)，则C为所求矩阵，且CTAC为对角阵，其中主对角上的元素为 1…, 1,…, s,…, s。
　　上述求解过程比较繁琐，特别是施密特正交化过程公式，较易忘记，而本文介绍的正交变换法就能快速地化二次型为标准型。由于二次型的标准型所对应的矩阵是对角矩阵∧，所以∧ A，即存在可逆矩阵C，使得CTAC = ∧。而C = P1P2…Pt，其中Pj(j = 1,…,t)为初等矩阵，CT =
　　
　　上述这两个式子说明，对矩阵A施行一系列成对的初等变换，将A化成对角矩阵E，就相当于对单位矩阵E施行同种类型的初等变换，将单位矩阵E化成可逆矩阵C。对角矩阵所对应的二次型就是标准型，可逆矩阵C就是可逆的线性变换X = CY所对应的矩阵。
　　因此我们作一个矩阵
　　这里需要说明的是，所谓合同变换是：当对矩阵施行一次初等行变换后，紧接着进行同样的初等列变换，两次变换必须同时进行。
　　例1 将二次型f (,,) =- 3 +- 2 + 2 - 6化成标准型。
　　解：此时二次型的矩阵，作矩阵
　　
　　
　　所以可逆的线性替换为
　　
　　其标准型为f (,,) =- 4 +
　　例2 将实二次型f (,,) = 2 - 6 + 2化为标准型。
　　解：此二次型的系数矩阵，A的主对角元素全是0，先对A作初等变换及其相应的列，使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数。
　　
　　
　　所以可逆的线性替换为
　　
　　标准型为：f (,,) = 2 -+ 6
　　初等变换在解决高等代数的有关问题中所具有的特殊作用，本文主要研究了将二次型化为标准型的有效方法――初等变换。
　　
　　参考文献
　　[1] 张贤科.高等代数.北京:清华大学出版社,2000.
　　[2] 杨桂元.线性代数.成都:电子科技大学出版社,2002.
　　[3] 王俊青.论初等变换在高等代数中的应用[J].沧州师范专科学校学报,2002.
　　
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