Question

幂级数求和：0到正无穷x^n/(n+1)怎么作，请赐教多谢

其中S（0）＝1不懂怎么出来的，当n＝0，x=0时和的第一项变为0^0/(0+1)=0吧，无意义，还是对求和的展开式误解，文科生请多多帮忙，虚心接受

Answer 1

令a_n = x^n/(n+1)。严格来讲，这个题解法如下
(1)确定级数收敛域
用比值判别法
|a_{n+1}/a_n| = |x|(n+1)/n+2 -> |x| (n ->∞)。因此当|x|<1时，级数绝对收敛。当|x| > 1时，级数发散。当x = -1时，级数为交错调和级数，收敛。当x = 1时，级数为调和级数，发散。故收敛域为-1 ≤ x < 1。
(2)根据定义，任意实数的0次幂等于1，0也不例外，即0^0 = 1。对于n > 0，有0^n = 0。显然S(0)＝1。
令Sn(x)为前n项和，当x在[-1,1)内且x≠0时，有
Sn(x) = 1/x Σ{k=0,n} x^(k+1)/(k+1)
记fn(x) = Σ{k=1,n} x^(k+1)/(k+1)，则Sn(x) = (fn(x)+x)/x。
dfn(x)/dx = Σ{k=1,n} d[x^(k+1)/(k+1)]/dx
= Σ{k=1,n} x^(k-1)
= (1-x^n)/(1-x)。
可见fn'(x) = (1-x^n)/[x(1-x)]，根据牛顿-莱布尼兹公式，有
fn(x) - fn(0) = ∫{0,x} (1-t^n)/(1-t) dt
= ∫{0,x}1/(1-t) dt - ∫{0,x}t^n/(1-t) dt
= ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt
从而
Sn(x) = (ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt + fn(0) + x)/x= ln(1-x)/x + 1 + fn(0)/x - (1/x) ∫{0,x}t^n/(1-t) dt。易知对任意n>0，fn(0) = 0，故Sn(x) = ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt。从而
S(x) = lim{n->∞} Sn(x)
=lim{n->∞} [ ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt]
= ln(1-x)/x + 1 - lim{n->∞}∫{0,x} t^n/(1-t) dt。
注意到当-1<x<1时，∫{0,x} t^n/(1-t) dt < |x| |x|^n -> 0 (n->∞)。同时当x = -1时，也可证明∫{0,x} t^n/(1-t) dt -> 0 (n->∞)(较复杂)。
故x在[-1,1)内且x≠0时，S(x) = ln(1-x)/x + 1，而S(0)＝1。