Question

求帮解两道大学数学题，实在搞不懂，请好心人帮忙解答一下并拍下解题过程

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Answer 1

根据题目条件，我们可以得到以下两个结论：

1. 原函数 f(x) 是单调递减的，因为当 x 逐渐接近 b 时，函数值 f(x) 趋向 0，且 f(x) 是具有连续的一阶导数的函数，根据单调递增函数的导数大于等于 0 的性质，即可得到结论。

2. 原函数 f(x) 满足 f(x) + f(x)^2 - 1 <= 0，即 f(x)^2 + f(x) - 1 <= 0。

现在，我们来证明 b - a > 2，即区间长度大于 2。

反证法：假设 b - a <= 2，则存在一个 c ∈ (a, b) 使得 f(c) ≤ - 1。根据极限的定义，我们可以找到一个数列 {x_n}，满足 x_n c 且 f(x_n) -∞。

根据单调递减的性质，对于任何 x ∈ (a, b)，有 f(x_n) ≥ f(x)，所以 lim f(x_n) ≥ lim f(x)。

但是根据题目条件，lim f(x_n) 应该等于 0，与 lim f(x) 不一致，因此假设不成立，即有 b - a > 2。

接下来，我们来给出一个使得等式成立的例子：

当 a = -∞，b = +∞，f(x) = (1 - e^x) / (1 + e^x)，满足题目条件。因为：

- lim f(x) = lim ((1 - e^x) / (1 + e^x)) = lim ((-e^x) / 2) = -∞，