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平面图形的面积怎么求?
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平面图形面积的本质与通用公式
数是数出来的,量是量出来的。度量是刻画图形大小的一种手段。度指的是单位,量指的是数量。度量是数学发展的根源,代数中有量与常用的量,几何中有刻画图形不同属性的大小——周长、面积、体积……
线段是一维的,只需要用测量长度的工具(尺子)度量出长的数值就可以,因此叫长度。封闭的平面图形四周长度之和就叫做周长。
面的大小是由两个方向上的量来刻画的,而且是这两个量的乘积来刻画“面积单位”的个数,因此就叫做面积。
同理,体的大小需要长宽高三个量的乘积来刻画“体积单位”个数的大小,因此叫做体积。
常用的平面图形中,长方形可以用长乘宽来刻画面积单位的个数,因为假设长方形的长是5厘米,宽是3厘米的话,则一行可以摆5个这样的面积单位;一共可以摆3行。一共有5×3=15个这样的面积单位。可以发现,实际上的5厘米与5个1厘米的意义是不一样的,3厘米与3行的意义也不一样。不过表面上的数值的大小是一样的。因此,教学长方形面积的时候,一定不能简简单单的让孩子记住长方形的面积等于长乘宽。这里面有他一个意义转化的过程,而且这个转化的过程需要让孩子经历,并且脑海中留下对应的动态画面……
换言之,教学时要适时进行长方形面积公式的抽象概括、避免过早进入式化计算阶段 。
在实际教学中,经常会遇到学生将长度单位与面积单位混淆的现象,这并非全是马虎所致,究其原因很可能是在面积计算的学习中,忽视用面积单位度量的过程,过早进行形式化计算的缘故。
数学教育家俞子夷认为②,儿童求面积有以下三种情况:一5平方厘米×3=15平方厘米,这种方法具体,容易理解,通常为初学者使用;二是5×3=15平方厘米,它是一种简写形式,经常在练习中使用;三是5厘米×3厘米=15平方厘米,它一般与实际测量作图相结合,或计算应用题时采用。
因此,建议教学中不要过早进入到面积计算的简写形式,可以先用“2平方米×2=4平方米”的形式进行表征,使学生对这个算式及面积单位的实际意义有更好的理解。
在学生有了一定认识并认可面积单位后,再逐步抽象,用简写的形式(2×2=4平方米)表示面积计算的过程。——以上粗体字摘抄于数学教学用书。
在孩子理解了长方形面积的本质是每行的面积单位个数×行数后,可以利用这个本质特征来推导三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式。比如:平行四边形的面积=底×高。这个底和高的背后代表着什么意思呢?底是代表每行的面积单位个数,高代表有这样的几行。不过,堆积的时候不是垂直的,而是向着一个方向有着一定的斜率堆放。因此,斜出来的边是不起作用的。真正起作用的是高,它代表着有这样的几行。三角形、梯形、圆都可以转化成每行的面积单位个数×行数来计算有多少个面积单位。由此也可以发现,长方形的面积公式是源头。
当然,如果采用教材上单纯的图形转化来看,平行四边形是面积公式的中转站,都可以转化成平行四边形来推导(长正方形是特殊的平行四边形);还有,所有的公式都归于梯形的面积公式。换言之,从不同的角度去思考、可以有不同的教学组织形式。
数是数出来的,量是量出来的。度量是刻画图形大小的一种手段。度指的是单位,量指的是数量。度量是数学发展的根源,代数中有量与常用的量,几何中有刻画图形不同属性的大小——周长、面积、体积……
线段是一维的,只需要用测量长度的工具(尺子)度量出长的数值就可以,因此叫长度。封闭的平面图形四周长度之和就叫做周长。
面的大小是由两个方向上的量来刻画的,而且是这两个量的乘积来刻画“面积单位”的个数,因此就叫做面积。
同理,体的大小需要长宽高三个量的乘积来刻画“体积单位”个数的大小,因此叫做体积。
常用的平面图形中,长方形可以用长乘宽来刻画面积单位的个数,因为假设长方形的长是5厘米,宽是3厘米的话,则一行可以摆5个这样的面积单位;一共可以摆3行。一共有5×3=15个这样的面积单位。可以发现,实际上的5厘米与5个1厘米的意义是不一样的,3厘米与3行的意义也不一样。不过表面上的数值的大小是一样的。因此,教学长方形面积的时候,一定不能简简单单的让孩子记住长方形的面积等于长乘宽。这里面有他一个意义转化的过程,而且这个转化的过程需要让孩子经历,并且脑海中留下对应的动态画面……
换言之,教学时要适时进行长方形面积公式的抽象概括、避免过早进入式化计算阶段 。
在实际教学中,经常会遇到学生将长度单位与面积单位混淆的现象,这并非全是马虎所致,究其原因很可能是在面积计算的学习中,忽视用面积单位度量的过程,过早进行形式化计算的缘故。
数学教育家俞子夷认为②,儿童求面积有以下三种情况:一5平方厘米×3=15平方厘米,这种方法具体,容易理解,通常为初学者使用;二是5×3=15平方厘米,它是一种简写形式,经常在练习中使用;三是5厘米×3厘米=15平方厘米,它一般与实际测量作图相结合,或计算应用题时采用。
因此,建议教学中不要过早进入到面积计算的简写形式,可以先用“2平方米×2=4平方米”的形式进行表征,使学生对这个算式及面积单位的实际意义有更好的理解。
在学生有了一定认识并认可面积单位后,再逐步抽象,用简写的形式(2×2=4平方米)表示面积计算的过程。——以上粗体字摘抄于数学教学用书。
在孩子理解了长方形面积的本质是每行的面积单位个数×行数后,可以利用这个本质特征来推导三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式。比如:平行四边形的面积=底×高。这个底和高的背后代表着什么意思呢?底是代表每行的面积单位个数,高代表有这样的几行。不过,堆积的时候不是垂直的,而是向着一个方向有着一定的斜率堆放。因此,斜出来的边是不起作用的。真正起作用的是高,它代表着有这样的几行。三角形、梯形、圆都可以转化成每行的面积单位个数×行数来计算有多少个面积单位。由此也可以发现,长方形的面积公式是源头。
当然,如果采用教材上单纯的图形转化来看,平行四边形是面积公式的中转站,都可以转化成平行四边形来推导(长正方形是特殊的平行四边形);还有,所有的公式都归于梯形的面积公式。换言之,从不同的角度去思考、可以有不同的教学组织形式。
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