Question

定积分定义中计算的问题，为什么△x趋于零时，它的极限还存在啊？

在下面这个图中，当△x趋于零时，f（ξi）*△xi的值就为“0“了，n个这样乘积相加和也为零！怎么还能说它的极限存在呢？搞不懂，哪位学长解答一下哦！多谢了！！

Answer 1

我给你详细解答下吧。
首先，你没有注意到什么情况下△x趋于零？△x趋于零的一个必要条件是n趋于无穷大了，那么你想，无穷多个0加在一起还是0吗？
事实上这个式子就可以表示为0*无穷，这是不定式，非零极限是可能存在的；当然也有可能不存在，就叫做不可积。
其次，再来说你的判断（当△x趋于零时，f（ξi）*△xi的值就为“0“了）。这里ξi，也就是每个小区间的数值的取法是可以和n以及如何划分△xi有关的（定积分定义里是说无关，但是那是定积分极限存在的情况，我们这里是讨论一般意义下和式极限是否存在的问题，没有假设f必须是可积的），当△xi趋近于零时，谁知道f（ξi）会怎么变呢？如果我告诉你f(x)具有这样的性质，在每个小区间△xi上，总是存在一个点ci，函数在这点的值
f(ci) = 1/△xi
（当然这个函数不是连续的）那么每次计算极限的时候，我总是取点ξi = ci，这样一来，
当△x趋于零时，f（ξi）*△xi的值就为1了，这个时候和式本身=n，极限是不存在的，这样的函数不可积。
由此可见，一个函数存在定积分其实是一个很强的条件：首先，必须保证任何的划分方法，以及任何的取ξi点方式下，极限都存在，有了这点还不够。其次，还必须保证所有这些极限都相等。有这两个条件，才能说那个唯一的极限叫做函数的定积分。有些不连续的函数虽然能够保证总是有极限，但是极限和划分方法或者取点方法有关，所以还是不可积。
我本科就是学数学的，你们教科书上的定义其实不准确，光是和式极限存在是不够的，还必须保证极限是唯一的，这才叫定积分。

追问

那你的意思就是无穷个0的和是不可积，算不错结果！所以它极限可能存在，也可能不存在？

追答

我没说无穷个0加一起是不可积，我说是不定式，可能取任何数值。具体你看看前面章节讲不定式的吧，总之，0乘以无穷大可能是无穷大，这个时候不可积；也可能是一个非无穷大的数，这个时候可积。
随便说个例子：
n* (1/n) =1吧？n趋于无穷时极限也是1对吧?但是你看n趋于无穷时，不就是无穷个0加一起吗？
n* (2/n) =2吧？n趋于无穷时极限也是2对吧?但是你看n趋于无穷时，不就是无穷个0加一起吗？
无穷个0加一起既可能是1，也可能是2，所以叫做不定式，结果不确定。上面这两个例子，本质上和你所说的每一项都趋于零，然后n项加起来求极限是一样的，所以我说这是不定式。
许多事情到了极限的时候就变了，有限个0加起来当然是0，但是无限个"0"加起来就不是0了。当然这里的"0"不是说真的等于0，而是说在极限情况下是0，比如上面的1/n。无限个真的0加起来，无论加多少个，还是0的。
我1000%肯定我说的。我本硕都是数学专业，现在博士虽然不学数学了，但是整天也是和数学打交道。

追问

大致看懂了，就是有点深奥，我是高中学生。我再细细思考思考吧、

Answer 2

给看两个图，就明白了

Answer 3

误名

追问

啥意思啊？