Question

如图△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，BD，CD的垂直平分线

EG，FH分别交BC于点E，F连接DE求证：△DEF是等边三角形
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Answer 1

证明：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线
∴∠DBC=∠DCB=60°/2=30°
∴DB=DC，∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°
∵EG是BD的垂直平分线，FH是DC的垂直平分线
∴EB=ED，FC=FD
∴△EBD和△FCD都是等腰三角形
∴∠BDE=∠DBE=30°，∠FDC=∠DCF=30°
∴∠EDF=∠BDC-∠BDE-∠CDF=120°-30°-30°=60°
又：∠DEF是三角形BDE的外角
∴∠DEF=∠BDE+∠DBE=30°+30°=60°
∴△DEF是等边三角形【有两个角是60°的三角形是等边三角形】

Answer 2

证明：因为BP平分∠ABC且△ABC为等边三角形，所以∠DBE=30°。又因为GE垂直平分BD，所以直角△BEG中∠BEG=60°。因为BG=DG,EG=EG,∠BGE=∠DGE=90°，所以△BEG≌△DEG,所以∠DEG=∠BEG=60°，以此得出∠DEF=60°。同理可证∠EFE=60°。所以：△DEF是等边三角形