Question

对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线为什么不考虑y轴？

为啥只有一种情况？

Answer 1

等轴双曲线是指其两个焦点到曲线上任意一点的距离之差恒定，且对称轴与坐标轴重合的双曲线。由于对称轴与坐标轴重合，因此对称轴既可以是x轴，也可以是y轴。
当对称轴为x轴时，双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a和b分别为双曲线的半轴长。此时，双曲线在y轴上没有任何交点，因此不需要考虑y轴。
当对称轴为y轴时，双曲线的方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，此时双曲线在x轴上没有任何交点，因此不需要考虑x轴。
因此，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线不需要考虑y轴或x轴的原因是因为它们的方程只涉及到x或y的平方项，而不涉及x和y的一次项，因此在对称轴上必须有一个坐标为0的点，而这个点只能在x轴或y轴上。