Question

数学分析难吗？

Answer 1

难的不是数学分析，而是数学。要想学数学分析，就应该以自己从来都没有学过数学的态度来学，重新认识数学到底是什么。以下这些问题带有一定的接续性。
1. 关于实数： 为什么说实数集才是连续的或者没有缝隙的，有理数集不也是密密麻麻的？
\left\{x:x^2<2\right\} 的最小上界。
2. 关于函数：说好的一个数只对应到一个数，那么有界集上的函数也就是有界函数了吗？
f\left(x\right)=\frac1x\left(x\in\left(0,1\right)\right).
3. 关于极限：刚刚说过实数集是连续的。已知一个无穷小高于一阶，低于二阶，那么它一定有可以求出的阶吗？
f\left(x\right)=\frac{x}{\ln x}\left(x\to 0^+\right).
4. 关于连续：首先，有没有各处都不连续的函数？其次，有没有定义在有界区间，有无限个不连续点，却不是处处不连续的函数？
Dirichlet 函数和 Riemann 函数。
5. 关于导数：可导必连续，但连续不一定可导。那么是否存在一个实数集上的可导函数，导数在某一点处不连续？
f\left(x\right)=\begin{cases}x^2\sin\left(1/x\right),&x\ne 0,\\0,&x=0.\end{cases}
6. 关于积分：连续函数一定可积，有个别间断点的函数居然也一定可积，那么有无限个间断点的函数还可积吗？
Riemann 函数。
7. 关于反常积分：连无穷小函数的无穷积分都不一定收敛，那么不是无穷小的一定不收敛吗？甚至无界的，甚至无穷大的呢？
在每个区间 \textstyle\left[\sum_{k=1}^{n-1}\frac2k,\sum_{k=1}^{n}\frac2k\right) 上，函数 f 在左半部分为 n, 在右半部分为 -n.
8. 关于级数：比反常积分容易，只有无穷小的级数才收敛。按理说两个无穷小乘起来是更高阶的无穷小，那是不是更得收敛了？
x_n=y_n=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\sqrt n}.
9. 关于函数项级数：接着上一条，在一个函数项级数的收敛域上取一个收敛数列，对应到函数列上得到的数列依然是无穷小吗？
\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{1+nx},\quad x_n=\frac1n.
10. 关于多元微分：听说多元函数的可微比可偏导严格多了。取一个在某一点处的所有方向导数都为零的函数，它总该可微了吧？
f\left(x,y\right)=\begin{cases}x^2y/{\sqrt{x^6+y^3}},&x^2+y^2\ne0,\\0,&x^2+y^2=0.\end{cases}
11. 关于重积分：有些重积分的积分区域决定了不容易将重积分化成累次积分，但是反观被积函数，仅仅是不容易化成而已吗？
\textstyle\iint_Df\left(x,y\right)\mathrm dx\mathrm dy, 其中 D=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right], 且
f\left(x,y\right)=\begin{cases}x,&x=1/k,\ y\in\mathbb Q,\ k\in\mathbb N^*,\\0,&\mathrm{others}.\end{cases}
12. 关于曲线曲面积分：某个积分在某个区域内路径无关，那么取每一点都在这个区域上的闭合回路，这个积分就是零了？
\oint_l\frac{x\mathrm dy-y\mathrm dx}{x^2+y^2},
其中 l 是单位圆的逆时针。
13. 关于含参变量积分：既然求积分和求导数的变量不同，那么对积分求导数，不就是对导数求积分？这玩意还需要研究吗？
I\left(x\right)=\int_0^{\infty}\frac{\sin xy}{y}\mathrm dy.