Question

16.设 f(z)=(y^3-3x^2y)+iv(x,y) 为解析函数,求 v(x,y)？

Answer 1

要求解析函数 \(f(z) = (y^3-3x^2y) + i v(x, y)\) 的虚部 \(v(x, y)\)，我们需要利用柯西-黎曼方程。
根据柯西-黎曼方程，对于解析函数 \(f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\)，我们有以下关系：
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\) 和 \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -\frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)
对于给定的函数 \(f(z) = (y^3-3x^2y) + i v(x, y)\)，我们可以将其实部和虚部分别表示为 \(u(x, y) = y^3-3x^2y\) 和 \(v(x, y)\)。
根据柯西-黎曼方程的第一个等式，我们有：
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}}(y^3-3x^2y) = -6xy\)
而根据柯西-黎曼方程的第二个等式，我们有：
\(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = -\frac{{\partial}}{{\partial y}}(y^3-3x^2y) = 3y^2-3x^2\)
由于这两个偏导数相等，我们可以得到：
\(-6xy = 3y^2-3x^2\)
化简这个方程，我们可以得到：
\(y^2 - 2x^2 + 2xy = 0\)
这是一个二次曲线方程，我们可以进一步化简得到：
\((y + x)^2 - 3x^2 = 0\)
\((y + x + \sqrt{3}x)(y + x - \sqrt{3}x) = 0\)
根据这个方程，我们可以得到两个解析函数的虚部 \(v(x, y)\)：
1. \(v_1(x, y) = -x(\sqrt{3} + 1)\)
2. \(v_2(x, y) = -x(-\sqrt{3} + 1)\)
因此，解析函数 \(f(z)\) 的虚部有两个可能的形式：
1. \(v_1(x, y) = -x(\sqrt{3} + 1)\)
2. \(v_2(x, y) = x(\sqrt{3} - 1)\)