Question

tanx的泰勒级数怎么求？

Answer 1

tanx 的泰勒级数可以通过求导数和积分来求得。首先，我们知道正切函数的定义为：tanx = sinx / cosx。为了求得 tanx 的泰勒级数，我们先求 sinx 和 cosx 的泰勒级数。
根据泰勒级数的定义，sinx 的泰勒级数为：
sine(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...
cosx 的泰勒级数为：
cosine(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...
接下来，我们将这两个级数代入正切函数的定义中，得到：
tanx = (sinx / cosx) = [(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...) / (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...)]
为了简化这个表达式，我们可以将分子和分母分别求导数，并令 x=1：
tanx = (d/dx (sinx / cosx)) = (d/dx (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...)) / (d/dx (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...))
对分子和分母求导数，我们有：
tanx = [(cosx - 3x^2/2! + 5x^4/4! - 7x^6/6! +...) / (sinx - 2x + 4x^3/3! - 6x^5/5! +...) - (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...) / (2 - 4x + 6x^3 - 4x^5 +...)
将 x=1 代入上式，得到：
tan1 = [(cos1 - 3 + 5 - 7 +...) / (sin1 - 2 + 4 - 6 +...) - (1 - 1 + 1 - 1 +...) / (2 - 4 + 6 - 4 +...)
注意到 sin1 = cos1 = 1，因此：
tan1 = [(1 - 3 + 5 - 7 +...) / (1 - 2 + 4 - 6 +...) - (1 - 1 + 1 - 1 +...) / (2 - 4 + 6 - 4 +...)
简化后，得到：
tan1 = (2 - 4 + 6 - 8 +...) / (-2 + 2 - 2 + 2 +...) = (2n - 1)!! / 2n!!
其中，n 为正整数，(2n - 1)!! 表示 (2n - 1) 的阶乘，即 (2n - 1) * (2n - 3) *... * 3 * 1。
因此，tanx 的泰勒级数为：
tanx ≈ (2n - 1)!! / (2n!! * x^2)，其中 x 是 tanx 的自变量，n 是泰勒级数的阶数。

Answer 2

tanx的泰勒展开式可以用无穷级数的形式表示，如下：

tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...

其中，x为弧度值。

这个泰勒展开式是基于函数tanx在x=0附近的无穷次求导得到的。它表示了tanx作为一个无穷次可导函数，在x=0附近的近似表达式。每一项都是x的幂次的多项式，系数随着幂次的增加而变化。

需要注意的是，tanx的这个泰勒展开式只在x值足够接近0时有效。当x远离0时，展开式的收敛性可能会变差。因此，在计算时需要根据所需的精度和x取值范围来选择适当的展开项数。