Question

设有线性方程组如图所示，试讨论入为何值时方程组有解？有解时求一般解

Answer 1

增广矩阵 （A，b) =
[ 1 1 1 1]
[-1 2 -4 2]
[ 2 5 -1 λ]
第 1 行 1 倍， -2 倍分别加到第 2， 3 行， 初等行变换为
[ 1 1 1 1]
[ 0 3 -3 3]
[ 0 3 -3 λ-2]
第 2 行 -1 倍加到第 3 行， 初等行变换为
[ 1 1 1 1]
[ 0 3 -3 3]
[ 0 0 0 λ-5]
λ = 5 时， r(A, b) = r(A) = 2, 方程组有解, 且有无穷多解。
此时， 第 2 行 乘以 1/3， 然后 -1 倍加到第 1 行， 初等行变换为
[ 1 0 2 0]
[ 0 1 -1 1]
[ 0 0 0 0]
方程组化为
x1 = -2x3
x2 = x3 + 1
取 x3 = 0 得特解 （0. 1， 0)^T;
导出组为
x1 = -2x3
x2 = x3
[ 0 3 -3 3]
[ 0 3 -3 λ-2]
第 2 行 -1 倍加到第 3 行， 初等行变换为
[ 1 1 1 1]
[ 0 3 -3 3]
[ 0 0 0 λ-5]
λ = 5 时， r(A, b) = r(A) = 2, 方程组有解, 且有无穷多解。
此时， 第 2 行 乘以 1/3， 然后 -1 倍加到第 1 行， 初等行变换为
[ 1 0 2 0]
[ 0 1 -1 1]
[ 0 0 0 0]
方程组化为
x1 = -2x3
x2 = x3 + 1
取 x3 = 0 得 特解 （0， 1， 0)^T
导出组为
x1 = -2x3
x2 = x3
取 x3 = 1 得 Ax = 0 的基础解系（-2，1， 1)^T
一版解是 x = （0， 1， 0)^T + k(-2，1， 1)^T