Question

如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，请你从所得关系中任意选取一

Answer 1

（法一）
如图1所示，过P点做EF∥AB，
则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，（平行线的传递性）
∴∠PCD=∠EPC
∴∠APC=∠PAB+∠PCD
（法二）
延长CP交AB于点H，
则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等）
则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法三）
如图3所示：连接AC，
则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°）
又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）
法四）
如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点，
∠APC=∠EPD，（对顶角相等）
∵AB∥CD
∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等）
则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法五）
如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F，
则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补）
由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°）
∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°）
∵∠AEP=90°，∠PFC=90°
∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180°
又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

Answer 2

第一个 ：∠APC+∠PAB+∠PCD=360度 原因：过点P做PE平行于AB 发现 ∠APE与∠BAP同旁互补
同理 ∠CPE与∠DCP也同旁互补
第二个 ：∠APC=∠PAB+∠PCD 原因：过点P做PE平行于BA 发现 ∠APE与∠BAP是内错角
（两直线平行 内错角相等）
第三个：∠APC+∠PAB=∠PCD 原因：（假设AB交PC于E）∠PCD=∠PEB ∠PEB是三角形APE
的外角
第四个：∠APC+∠PCD=∠PAB 原因和第三个一样

Answer 3

解：如图，

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；
（4）∵AB∥CD，
∴∠POB=∠PCD，
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠APC+∠PAB=∠POB，
∴∠APC=∠POB-∠PAB，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB．
（1）证明：过点P作AB∥PF，所以AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．

Answer 4

（法一）
如图1所示，过P点做EF∥AB，
则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，（平行线的传递性）
∴∠PCD=∠EPC
∴∠APC=∠PAB+∠PCD
（法二）
延长CP交AB于点H，
则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等）
则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法三）
如图3所示：连接AC，
则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°）
又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）
法四）
如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点，
∠APC=∠EPD，（对顶角相等）
∵AB∥CD
∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等）
则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法五）
如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F，
则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补）
由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°）
∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°）
∵∠AEP=90°，∠PFC=90°
∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180°
又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

Answer 5

图呢