Question

已知函数f(x)=x^2+2/x,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1.

Answer 1

将f(x)代入不等式，得到：
x^2 + 2/x - (x-1)^2 - 2/(x-1) > 2x-1
两边同乘以x(x-1)，得到
x^3(x-1) + 2(x-1) - x(x-1)^3 - 2x > (2x-1)x(x-1)
展开整理，得到：
x^3 - x^2 + 2 <0，设g(x) = x^3 - x^2 + 2.
该函数的导数为g'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x-2)，也就是说，当0<x<3/2时，
g'(x) < 0, 函数g(x)单调递减，由于g(3/2) > 0 ，因此函数g在区间 [0, 3/2]上都是正的。
当x<=0或x>=3/2时，g'(x)为正，函数单调递增，由于g(3/2)已经是正的了，之后函数又是单调递增的，所以不可能与x轴有交点，也就是说，当x>0时，g(x)始终是正的，唯一可能的交点就是当x<0的时候取到。由于x趋于负无穷时函数g(x)也是趋于负无穷的，且g(x)在小于零的这段是单调递增的，g(0)=2>0，所以必然会和x轴有且仅有一个交点。设这个交点为x0,那么不等式最终的解就是x<x0.
如何对x^3 - x^2 + 2进行因式分解？考虑到解肯定是负数，而且这种题目的答案一般比较简单，所以尝试代入x=-1，发现它就是解，因此答案为：
x < -1
(说明：三次多项式的因式分解一般就是用猜的办法解决的，因为三次方程求根不在考试范围之内，所以即便是碰到要求根，也是很简单的答案。当然，首先用函数导数判断有几个根是非常有帮助的，而且可以知道根大概的范围)