Question

高等数学问题设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：

高等数学问题：设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：至少存在一点ξ∈(-1,1)，使得f"(ξ)=f(-1)+f(1)-2f(0)

Answer 1

用两次中值定理，f(x)在[-1,0]上连续且在(-1,0)内有连续二阶导数，存在m∈(-1,0),使
f'(m)=f(0)-f(-1)，
同理在(0,1)内存在n∈(0,1),使
f'(n)=f(1)-f(0)，
在（m,n）内，f'(x),连续可导，所以存在一点ξ∈(m,n)，使得
f"(ξ)=f'(n)-f'(m)=f(-1)+f(1)-2f(0)
所以证得至少存在一点ξ∈(-1,1)，使得f"(ξ)=f(-1)+f(1)-2f(0)

追问

最后一步使用中值定理，不应当是
f"(ξ)=[f'(n)-f'(m)]/(n-m) 吗？ 如何把 n-m 消掉或者证明(n-m)为1？

Answer 2

用泰勒公式，在0处展开

Answer 3

好难啊~