Question

已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是（）

Answer 1

如果a>=1，那么a,b的函数值都等于lg(x)，函数此时是严格单调递增函数，是不可能出现f(a)=f(b)的；同理，如果b<=1，a,b点的函数值总是等于-lg(x)，函数此时是严格单调递减函数，也是不可能出现f(a)=f(b)的。考虑到让函数值取0的点只有一个x=1，因此a,b的位置必然是：
0<a<1<b，（你自己可以验证a=1或者b=1都是不可能的情况）
并且，| lg (a) | = | lg(b) |，说明 - lg(a) = lg(b)，即a = 1/b，这样一来，
2a + b = 2a + 1/a >= 2 sqrt (a*1/a) = 2 （重要不等式，当且仅当2a = 1/a时取等号，此时a = sqrt (2) /2, sqrt是开方）
观察到当a趋于0时，2a + 1/a是趋于无穷大的（1/a分母越来越小），所以所有大于2的数值都可能取到，因此，
2a + b的取值范围就是[2, +无穷]