Question

BD为圆O的直径，AB=AC,AD交BC于点E，AE=2,ED=4 1.求证△ABE∽△ACB，并求AB的长

2.延长DB到点F,使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与圆O的位置关系，并说明理由

Answer 1

1. 题目应为求证△ABE∽△ADB.
证:

(1)由于弦AB=AC, 所以所对的圆周角ADB=角ABC
(2)角BAE=角DAB (其实是同一个角)
所以三角形ABE相似於三角形ADB.

由刚证明的一对相似三角形得
AB/AE=AD/AB
故AB^2=AE*AD=2*(2+4)=12
得AB=2根号3.

2. 由勾股定理, BD^2=AB^2+AD^2=12+36=48
可知BD=4根号3
所以半径BO=BD/2=2根号3, 和AB居然相等
所以三角形AOB是等边三角形, 角ABO=60度.

又BF=BO=BA, 所以ABF是等腰三角形, 角BAF=角ABO/2=30度
于是角OAF=角BAF+角OAB=90度. 由此知AF与圆相切.

Answer 2

（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．解答：解：（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴ ，
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB= ．

（3）直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
BF=BO= ，
∵AB= ，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．