在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）． 200
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 展开
解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、岩枯C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2 ，
所以AE=AC-CE=4-2 ．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE= AC=1．
（2）存在（只有一种情况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以 ，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
(3) 不存在．
由于D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．
所以AD≠AE．
我另外再介绍一种解法：
.(1)①证明:∵∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE=135°;(平角定义)
∠ADB+∠BAD=180°-∠B=135°.(三角形内角和定理)
∴∠CDE=∠BAD;又∠B=∠C=45°.故⊿ABD∽⊿DCE.
②解:◆当AE=DE时(见上方左图),∠EAD=∠EDA=45°,则DE⊥AC;AD⊥BC;又AB=AC.
∴D为BC的中点,AD=BC/2=DC.故AE=CE=AC/2=1;
◆当AD=DE时(见上方中图),又⊿ABD∽⊿DCE(已证),则⊿ABD≌⊿DCE,DC=AB=2.
又BC=√(AB²+AC²)=2√2.故AE=AC-CE=2-BD=2-(2√2-2)=4-2√2.
◆当AD=AE时(见上方右图),∠AED=∠ADE=45°,则∠DAE=90°.
∴此时点D与B重合,可知AE=AD=AB=2.
(2)①点D在BC延长线上时,存在点D使得△ADE'是等腰三角形.(见下方左图)
AD=DE'时,∠DAE'=∠E'=(1/2)∠ADE=22.5°;
又返枣启∠DAE'+∠ADC=∠ACB=45°;
∴∠ADC=∠DAE'=22.5°.故CD=AC=2.(即D在BC延长线上,且CD=2.)
②当点D在BC反向延长线上时,不存在点D,使△ADE是等腰三角形.(见下方右图)
∵若点D在BC反漏如向延长线上,则∠DAE>90°.
∴AD≠DE;AE≠DE.(因为三角形内角和为180度)
若AD=AE,则∠AED=∠ADE=45°,∠DAE=90°,与∠DAE>90°矛盾.
综上所述,当点D在BC反向延长线上时,不存在点D使△ADE为等腰三角形.
2.(1)①证明:∵∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE=135°;(平角定义)
∠ADB+∠BAD=180°-∠B=135°.(三角形内角和定理)
∴∠CDE=∠BAD;又液咐燃∠B=∠C=45°.故⊿ABD∽⊿DCE.
②解:◆当AE=DE时(见上方左图),∠EAD=∠EDA=45°,则DE⊥AC;AD⊥BC;又AB=AC.
∴D为BC的中点,AD=BC/2=DC.故AE=CE=AC/2=1;
◆当AD=DE时(见上方中图),又⊿ABD∽⊿DCE(已闹虚证),则⊿ABD≌⊿DCE,DC=AB=2.
又BC=√(AB²+AC²)=2√2.故AE=AC-CE=2-BD=2-(2√2-2)=4-2√2.
◆当AD=AE时(见上方右图),∠AED=∠ADE=45°,则∠DAE=90°.
∴此时点D与B重合,可知AE=AD=AB=2.
(2)①点D在BC延长线上时,存在点D使得△ADE'是等腰三角形.(见下方左图)
AD=DE'时,∠DAE'=∠E'=(1/2)∠ADE=22.5°;
又∠DAE'+∠ADC=∠ACB=45°;
∴∠ADC=∠DAE'=22.5°.故CD=AC=2.(即D在BC延长线上,且CD=2.)
②当点D在BC反向延简判长线上时,不存在点D,使△ADE是等腰三角形.(见下方右图)
∵若点D在BC反向延长线上,则∠DAE>90°.
∴AD≠DE;AE≠DE.(因为三角形内角和为180度)
若AD=AE,则∠AED=∠ADE=45°,∠DAE=90°,与∠DAE>90°矛盾!
综上所述,当点D在BC反向延长线上时,不存在点D使△ADE为等腰三角形.
由∠BAD+∠ADB=135°，∠则喊姿ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2 ，
所以AE=AC-CE=4-2 ．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE= AC=1．
（2）存在（只有一渗宽种情况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′孙绝D．
所以 ，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
(3) 不存在．
由于D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．
所以AD≠AE．
望采用！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2 ，
所以AE=AC-CE=4-2 ．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE= AC=1．
（2）存在（只有一种情况燃败陪）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以 ，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
(3) 不存在．
由于D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．
所以AD≠AE．
我的分很少了 O(∩_∩)O谢谢 ↖(^ω^)↗%>_<%$_$
. .
\`-"'"-'/
} 6 6 {
=. Y ,=
(""-'***`-"")
`-/ \-'
( )-( )==='
"" ""
▇▇▇▇ . ▇▇▇▇ . ▇▇▇▇ ▇▇▇▇
◢▇▇▇▇◣ ◢▇▇▇▇◣ ◢▇▇▇▇◣ ◢▇▇▇▇◣
▇春节快乐▇. ▇生活愉快▇ ▇吉祥如意▇ ▇合家欢乐▇
◥▇▇▇▇◤ .◥▇▇▇▇◤ ◥▇▇▇▇◤ ◥▇▇▇▇◤
▇▇▇▇ . ▇▇▇▇ . ▇▇▇▇ ▇▇▇▇
| | | | | | | | | | | |
/###((\o/))####/ |
/____//^\\ ____/# |
| # |# |
| 圣 # 快 |# |
| 诞皮蠢 # 乐 |#/
|_______#____ __|/
送给你的，打开看看吧：）
/` `'.
/ _..---;
| /__..._/ .--.-.
|.' e e | ___\_|/____
(_)'--.o.--| | | |
.-( `-' = `-|____| |____|
/ ( |____ ____|
| ( |_ | | __|
| '-.--';/'/__ | | ( `|
| '. \枯正 )"";--`\ /
\ ; |--' `;.-'
|`-.__ ..-'--'`;..--'`
___ ___ ___ ___ ___.---------------.
.'\__\'\__\'\__\'\__\'\__,` . ____ ___ \
|\/ __\/ __\/ __\/ __\/ _:\ |`. \ \___ \
\\'\__\'\__\'\__\'\__\'\_`.__|""`. \ \___ \
\\/ __\/ __\/ __\/ __\/ __: \
\\'\__\'\__\'\__\ \__\'\_;-----------------`
\\/ \/ \/ \/ \/ : |
\|______________________;________________|
（ （
） （ ）
(-----------------------)
b d
d 热茶一碗 b
d _______________ b
(_______________)
.======.
| INRI |
| |
| |
.========' '========.
| _ xxxx _ |
| /_;-.__ / _\ _.-;_\ |
| `-._`'`_/'`.-' |
'========.`\ /`========'
| | / |
|/-.( |
|\_._\ |
| \ \`;|
| > |/|
| / // |
| |// |
| \(\ |
| `` |
| |
| |
| |
| |
\\ _ _\\| \// |//_ _ \// _
^ `^`^ ^`` `^ ^` ``^^` `^^` `^ `^
****** ******
********** **********
************* *************
*****************************
*****************************
*****************************
***************************
***********************
*******************
***************
***********
*******
***
*
****** ******
********** **********
************* *************
*****************************
*****************************
*****************************
***************************
***********************
*******************
***************
***********
*******
***
*
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2 ，
所以AE=AC-CE=4-2 ．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE= AC=1．
（2）存在（只有一种情蔽樱况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠瞎并念ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以 ，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
(3) 不存在．
因为D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．磨困
所以AD≠AE．
