Question

已知f(x)是在其定义域上都满足f(x+2)=1-f(x)/1+f(x),求证:f(x)是以4为周期的函数。

Answer 1

f(x+4)=f(x+2+2)=(1-f(x+2))/(1+f(x+2))=(1-(1-f(x)/1+f(x)))/(1+(1-f(x)/1+f(x)))
化简一下就是(2f(x)/(1+f(x)))/(2/(1+f(x)))=f(x)
即f(x+4)=f(x)
可能有点晕。。
不懂再问哦

追问

。。确实很晕，意思差不多明白，但是你能解释的再详细点么。。

追答

就是把x+4拆成(x+2)+2,把x+2看成一个x，得到关于(x+2)的式子再将题目中的关系式代入
求采纳~

追问

给你个建议吧，你回答问题的格式不太好。这是要扣分的~

追答

啥。。。
这只是思路，你自己写还是要一行一行慢慢来
总不能让我把解和答句也写上吧。。

追问

拜托，是我采纳你的答案，不是你采纳我滴好不啦。。思路我当然知道，就是格式不会写，不然我上度娘干嘛啊！

追答

好吧
证：f(x+4)
=f(x+2+2)
=(1-f(x+2))/(1+f(x+2))
=(1-(1-f(x)/1+f(x)))/(1+(1-f(x)/1+f(x)))
化简，原式=(2f(x)/(1+f(x)))/(2/(1+f(x)))
=f(x)
即f(x+4)=f(x)
f(x)是以4为周期的函数
原命题得证

满意了吧~

Answer 2

f(x+2)=[1-f(x)]/[1+f(x)] (1)
f(x+2)+f(x+2)f(x)=1-f(x)，[1+f(x+2)]f(x)=1-f(x+2)
所以 f(x)=[1-f(x+2)]/[1+f(x+2)]
又在（1）中用x+2替换x，得
f(x+4)=[1-f(x+2)]/[1+f(x+2)]
所以 f(x+4)=f(x)

追问

f(x+2)+f(x+2)f(x)=1-f(x)，[1+f(x+2)]f(x)=1-f(x+2)
这一步不懂。

追答

把分母乘到左边，f(x+2)[1+f(x)]=1-f(x)
f(x+2)+f(x+2)f(x)=1-f(x)，
移项 ，f(x+2)f(x)+f(x)=1-f(x+2)
[1+f(x+2)]f(x)=1-f(x+2)