Question

高中一道立体几何，这个建坐标系解貌似很困难

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，各条棱均相等，E在侧棱CC1上，D在棱A1B1上，且△BDE为等边三角形，求二面角D-BE-C的度数

Answer 1

过D作DH⊥B1C1，垂足为H，再取BE中点G，连DG，HG

因为面A1B1C1⊥面BCC1B1，所以DH⊥面BCC1B1，从而DH⊥BE。

因为△BDE为等边三角形，所以DG⊥BE，

于是∠DGH是二面角D-BE-B1的平面角。

设各棱长为a，DB1=x，连DC1，显然DC1⊥C1E

易证EC=DB1=x，EC1=a-x

所以DE^2-EC1^2=DC1^2

即DB^2-EC1^2=DB1^2+B1C1^2-2*DB1*B1C1cos60°

(x^2+a^2)-(a-x)^2= x^2 +a^2-2*x*a/2

x^2+a^2=3ax，(x/a)^2-3(x/a)+1=0

x/a=(3-√5)/2   (∵x<a, ∴x/a= (3+√5)/2舍去)

∵DG=BD*√3/2，　DH=DB1*√3/2

∴tan∠DGH=DH/DG= DB1/BD=x/a =(3-√5)/2

所以　∠DGH=arc tan (3-√5)/2

故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2

追问

要求的那个二面角是个度数

追答

是个度数？特殊值吗，我哪里错了？再好好看看，可以将π-arc tan (3-√5)/2化成近似值度数的，大约159度。
不好意思，最后部分没写好，更正如下
∵DG=BD*√3/2，　DH=DB1*√3/2,∴RtΔDB1B∽RtΔDHG
∴tan∠DGH=DH/HG= DB1/B1B=x/a =(3-√5)/2
所以　∠DGH=arc tan (3-√5)/2
二面角D-BE-B1的大小为　tan (3-√5)/2
二面角D-BE-B1和所求的二面角D-BE-C是互补关系，
故二面角D-BE-C的大小为 π-arc tan (3-√5)/2 ≈159°

Answer 2

设三角形各边为1 ，因为三角形BDE为等边三角形 所以 CE=DB1，设CE=X，（1-X)²+¾=X²+1 解得 X=3/8 所以BD²=73/64,作 DF垂直于BE ,DG垂直于B1C1，则DF²=219/256 DG²=27/256.
SIN∠DFG=DG/DF=根号9/73 所以二面角D-BE-C的度数为arcsin 根号9/73 .

追问

那个二面角是个度数

追答

度数不是个整数，不好写啊应该为π-arc sin√9/73≈159.4439°我的方法简单些。

Answer 3

直三棱柱各条棱均相等？那直角是哪个？

追问

直三棱柱不是底面是直角三角形，而是侧棱与底面垂直的三棱柱

追答

不好意思，犯糊涂了，看成直角了。。。
这类棱柱如果要建系的话坐标远点选在底面的中心，z轴向上，xy轴分别平行和垂直与底面三角形的一条边……
希望对你有用。