Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：
（1）直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，可求得A点的坐标为（-1，0）、C点的坐标为（0，-3），把A、C两点坐标值代入y=x^2+bx+c，解得b=-2，c=-3，所以抛物线的解析式为y=x^2-2x-3，点B坐标为（3，0）；
（2）直线BC的解析式求得为y=x-3，设M的坐标为（x，x-3），则E的坐标为（x，x^2-2x-3），所以ME=x-3-(x^2-2x-3)=(x-3/2)^2+9/4，所以ME的最大值为9/4；
（3）当ME取最大值时，M的坐标为（3/2，-3/2），F的坐标为（3/2，0），FB=3/2，抛物线的对称x=1，所以点M不在对称上，故在抛物线x轴下方不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形