Question

已知cos(4分之π-α)=5分之3,sin(4分之5π+β)=-13分之12，α∈（4分之π，4分之3π），β∈（0,4分之π）

求sin（α+β）的值

Answer 1

∵α∈(π/4，3π/4)，∴α-π/4∈(0,π/2)
cos(4分之π-α)=3/5，即cos(α-π/4)=3/5，∴sin(α-π/4)=4/5
∵β∈(0，π/4)，∴β+π/4∈(π/4,π/2)
sin(4分之5π+β)=-12/13，即sin(β+π/4)=12/13，∴cos(β+π/4)=5/13
∴sin(α+β)=sin[(α-π/4)+(β+π/4)]
=sin(α-π/4)cos(β+π/4)+cos(α-π/4)sin(β+π/4)
=4/5*5/13+3/5*12/13
=56/65

Answer 2

解
cos(π/4-α)=3/5・・・利用和差化积 cosπ/4*cosα+sinα*sinπ/4=cosα+sinα=3√2/5・・・①
sin(5π/4+β)=-12/13・・・同上 可得 cosβ+sinβ=12√2/13・・・②

由于①平方 得cosαsinα=-7/50 与①联立 可得cosα=-√2/10或7√2/10(舍弃),sinα=7√2/10
同理②平方 得cosβsinβ=119/338 与②联立 可得cosβ=221√2/338 sinβ=91√2/338
sin(α+β)=cosαsinβ+sinαcosβ=56/65