Question

1.求lim_(x0)(x^3y+xy^4+x^2y)/(x+y)(注:如极限不存在,则请说明理由

Answer 1

根据题目，所求极限为：

lim_(x→x0) [(x^3y + xy^4 + x^2y)/(x + y)]

可以使用洛必达法则来求解。具体步骤如下：

• 对分子和分母同时求导数。

• 计算导数的极限。

• 如果导数的极限存在且不为0，则原极限存在且等于导数的极限；如果导数的极限不存在或者为0，则原极限不存在或者需使用其他方法求解。

对于这个问题，我们有：

(x^3y + xy^4 + x^2y)' = (3x^2y + y^4 + 2xy)

(x + y)' = 1

因此，所求极限等于：

lim_(x→x0) [(3x^2y + y^4 + 2xy)/(x + y)]

将x → x0 代入上式，得到：

(3x0^2y + y^4 + 2x0y)/(x0 + y)

当 x → x0 时，分子和分母都趋近于0，因此可以使用洛必达法则。对分子和分母同时求导数，得到：

(6x0y + 2y) / (1)

当 x → x0 时，导数的极限为 2y。因此，原极限等于：

lim_(x→x0) [(3x^2y + y^4 + 2xy)/(x + y)]
= lim_(x→x0) [(6x0y + 2y)/(2)]
= lim_(x→x0) [3x0y + y]
= 3x0y + y

因此，当 x → x0 时，原极限存在且等于 3x0y + y。由于这个结果与自变量有关，因此该极限在不同的 x0 取值下可能存在不同的极限值，即极限不存在。