Question

2.利用多元函数极值的充分条件,讨论 f(x,y)=6(x-y)-x^2-y^2+2005 的极值？

Answer 1

要讨论函数 f(x, y) = 6(x - y) - x^2 - y^2 + 2005 的极值，我们需要找到其一阶和二阶偏导数，然后利用多元函数极值的充分条件进行分析。
首先，计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的一阶偏导数：
∂f/∂x = 6 - 2x，
∂f/∂y = -6 - 2y。
然后，我们需要找到函数 f(x, y) 的临界点，即一阶偏导数等于零的点。解方程组 ∂f/∂x = 0 和 ∂f/∂y = 0，我们得到：
6 - 2x = 0 => x = 3，
-6 - 2y = 0 => y = -3。
所以，函数 f(x, y) 的临界点是 (3, -3)。
接下来，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：
∂^2f/∂x^2 = -2，
∂^2f/∂y^2 = -2，
∂^2f/∂x∂y = 0。
然后，我们可以利用二阶偏导数的符号来判断临界点的性质。计算二阶偏导数的行列式 D = ∂^2f/∂x^2 * ∂^2f/∂y^2 - (∂^2f/∂x∂y)^2，我们有：
D = (-2) * (-2) - (0)^2 = 4 > 0。
由于 D > 0，且 ∂^2f/∂x^2 = -2 < 0，所以临界点 (3, -3) 是函数 f(x, y) 的极大值点。
综上所述，函数 f(x, y) = 6(x - y) - x^2 - y^2 + 2005 在点 (3, -3) 处取得极大值。
希望这个解答对您有帮助。如果有任何其他问题，请随时提问。

Answer 2

方法如下，请作参考：

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