Question

从1乘到多少乘积的末尾有0个0

Answer 1

要求从1乘到多少的乘积末尾没有0，实际上就是求阶乘中的尾数零的个数为0的情况。我们知道，尾数零的个数实际上是由于质因子2和5的个数决定的，而10可以分解为2和5相乘。
因此，我们需要找到从1乘到多少时，质因子2和5的个数相等，从而保证乘积末尾没有0。
例如：1! = 1，没有0；2! = 2，没有0；3! = 6，没有0；4! = 24，末尾有1个0；5! = 120，末尾有1个0；6! = 720，末尾有1个0；7! = 5040，末尾有1个0；8! = 40320，末尾有1个0；9! = 362880，末尾有1个0；10! = 3628800，末尾有2个0。
由此可见，从1乘到10的阶乘时，乘积末尾有2个0。
因此，答案是：从1乘到10的阶乘时，乘积的末尾有0个0。从11开始乘，乘积的末尾就会有0了。

Answer 2

从1到10，连续10个整数相乘：

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

连乘积的末尾有几个0？

答案是两个0。其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。

刚好两个0？会不会再多几个呢？

如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到

原式=3628800。你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。

那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：

1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢？

现在答案变成4个0。其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。

刚好4个0？会不会再多几个？

请放心，多不了。要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里，2多、5少。有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。

把规模再扩大一点，从1乘到30：

1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0？

很明显，至少有6个0。

你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。

刚好6个0？会不会再多一些呢？

能多不能多，全看质因数5的个数。25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。

乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。

例如，这次乘多一些，从1乘到100：

1×2×3×4×…×99×100。现在的乘积末尾共有多少个0？

答案是24个。