x+2y=3求3/x+4x/y的最小值
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要求表达式 3/x + 4/y 的最小值,可以使用拉格朗日乘数法。首先,我们需要建立拉格朗日函数:
L(x, y, λ) = 3/x + 4/y + λ(x + 2y - 3)
其中 λ 是拉格朗日乘数。
现在,我们需要求解函数 L(x, y, λ) 的偏导数为零的点。分别对 x、y、λ 求偏导得到以下方程:
∂L/∂x = -3/x^2 + λ = 0 ...... (1)
∂L/∂y = -4/y^2 + 2λ = 0 ...... (2)
∂L/∂λ = x + 2y - 3 = 0 ...... (3)
从方程 (1) 可以得到 λ = 3/x^2,将其代入方程 (2) 中得到 -4/y^2 + 2(3/x^2) = 0。
整理得到 -4/y^2 = 6/x^2,进一步变形为 y^2/x^2 = 2/3。
将 y^2/x^2 的值代入方程 (3) 中,得到 x + 2(x√(2/3)) - 3 = 0。
解以上方程可以得到 x 的值,进而求得对应的 y 的值。
最终,代入表达式 3/x + 4/y,并将已求得的 x、y 值代入,即可得到最小值。
L(x, y, λ) = 3/x + 4/y + λ(x + 2y - 3)
其中 λ 是拉格朗日乘数。
现在,我们需要求解函数 L(x, y, λ) 的偏导数为零的点。分别对 x、y、λ 求偏导得到以下方程:
∂L/∂x = -3/x^2 + λ = 0 ...... (1)
∂L/∂y = -4/y^2 + 2λ = 0 ...... (2)
∂L/∂λ = x + 2y - 3 = 0 ...... (3)
从方程 (1) 可以得到 λ = 3/x^2,将其代入方程 (2) 中得到 -4/y^2 + 2(3/x^2) = 0。
整理得到 -4/y^2 = 6/x^2,进一步变形为 y^2/x^2 = 2/3。
将 y^2/x^2 的值代入方程 (3) 中,得到 x + 2(x√(2/3)) - 3 = 0。
解以上方程可以得到 x 的值,进而求得对应的 y 的值。
最终,代入表达式 3/x + 4/y,并将已求得的 x、y 值代入,即可得到最小值。
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