Question

复数的三角表示

Answer 1

复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ）叫做复数Z=a＋bi的三角形式。

其中，r=√(a²＋b²)≥0，cosθ＝a/r，sinθ＝b/r。

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ）的形式，其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角。

1、相关信息

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系，这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)。

由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

2、复数三角形式的运算法则

引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

复数的乘法

设:

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)

Z2=r2(cosO2+isinθ2)

则:

Z1Zz=[r1(cosθ1+isinO1)].[r2(cosO2+isinO2)]

=r1r2(cosθqcosθ2-sinθ1sinθ2)+ir1r2(sinθ1cosθ2+cosθ:sinθ2)

=r1r2[cos(日1+日2)+isin(θ1+θ2)]

这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加，这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将:向量Z1的模扩大为原来的r2倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角日2,就得到Z1Z2.