Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2,l3,l4上，这四条平行线中相邻

两条之间的距离依次为h1,h2,h3，
1)设正方形ABCD面积为S，求证，S=（h1+h2）2+h12
2)若3/2h1+h2=1,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h2r的变化情况。
(h1=h3)

Answer 1

(1)分别过左右两个顶点作平行线的垂线，则在正方形外围着四个全等的直角三角形，直角三角形的直角边长分别为h1和h2+h3其中（h1=h3),所以整个图形为一个大正方形面积为（h1+h2+h3)^2,所以s=(h1+h2+h3)^2-1/2(h2+h3)*h1*4,其中h3=h1,所以s=(h1+h2)^2+h1^2.
(2)因为0<h1<2/3,所以s=5/4(h1-2/5)^2+4/5,观察图像所以当0<h1<2/5时，s随h1的增大而减小;当2/5<=h1<2/3时,s随h1的增大而增大。

Answer 2

解：（1）设AD、BC与l2、l3相交于点E、F。

由题意知四边形BEDF是平行四边形，

∴△ABE≌△CDF（ASA）。

∴对应高h1＝h3。

(2)过B、D分别作l4的垂线，交l4于G、H（如图），

易证△BCG≌△CDH，从而根据勾股定理，得

CB2＝BG2＋GC2＝BG2＋HD2，

即：S＝(h3＋h2)2＋h32＝(h1＋h2)2＋h12。

(3)∵ 3 2h1＋h2＝1,∴h2＝1－ 3 2h1

由(2)知S＝(h1＋h2)2＋h12＝( h1＋1－ 3 2h1)2 ＋h12＝ 。

∵ h1＞0，h2＞0，h3＞0，∴h2＝1－ 3 2h1＞0，解得0＜h1＜ 。

∴当0＜h1＜ 时，S随h1的增大而减小；

当h1= 时，S取得最小值 ；

当 ＜h1＜ 时，S随h1的增大而增大。

【考点】平行的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等量代换，，二次函数的性质。

【分析】（1）由全等三角形对应高相等的性质证明即可。

（2）由△BCG≌△CDH，应用勾股定理即可证得。

(3)将已知的 3 2h1＋h2＝1化为 h2＝1－ 3 2h1代入（2）的结论： S＝(h1＋h2)2＋h12，得到S关于 h1的二次函数，应用二次函数增减性的性质进行讨论即可。

Answer 3

（1）证明：过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，
∵四边形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，
∴四边形EFGH是边长为h₂的正方形，
∴S＝4×1/2h1(h1+h2)+h22＝2h12+2h1h2+h22＝(h1+h 2)2+h12，

（3）解：由题意，得h2＝1−3/2h1，
∴S＝(h1+1−3/2h1)2+h12＝5/4h12−h1+1

     

      ＝5/4(h1−2/5)2+4/5

 

又{h1＞0       1−3/2h1＞0}

 

解得0＜h₁＜2/3

∴当0＜h₁＜2/5时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=2/5时，S取得最小值4/5；当2/5＜h₁＜2/3时，S随h₁的增大而增大．

Answer 4

(1)用勾股定理也行