Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2,l3,l4上，这四条平行线中相邻

两条之间的距离依次为h1,h2,h3，
1)设正方形ABCD面积为S，求证，S=（h1+h2）2+h12
2)若3/2h1+h2=1,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h2r的变化情况。
(h1=h3)
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Answer 1

证明1）分别过左右两个顶点作平行线的垂线，则在正方形外围着四个全等的直角三角形，直角三角形的直角边长分别为h1和h2+h3其中（h1=h3),所以整个图形为一个大正方形面积为（h1+h2+h3)^2,所以s=(h1+h2+h3)^2-1/2(h2+h3)*h1*4,其中h3=h1,所以s=(h1+h2)^2+h1^2.
2)因为0<h1<2/3,所以s=5/4(h1-2/5)^2+4/5,观察图像所以当0<h1<2/5时，s随h1的增大而减小;当2/5<=h1<2/3时,s随h1的增大而增大。

Answer 2

(1)设AD、BC与l2、l3相交于点E、F。
由题意知四边形BEDF是平行四边形，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。
∴对应高h1＝h3。
(2)过B、D分别作l4的垂线，交l4于G、H（如图），
易证△BCG≌△CDH，从而根据勾股定理，得
CB2＝BG2＋GC2＝BG2＋HD2，
即：S＝(h3＋h2)2＋h32＝(h1＋h2)2＋h12。
(3)∵ 3 2h1＋h2＝1,∴h2＝1－ 3 2h1
由(2)知S＝(h1＋h2)2＋h12＝( h1＋1－ 3 2h1)2 ＋h12＝ 。
∵ h1＞0，h2＞0，h3＞0，∴h2＝1－ 3 2h1＞0，解得0＜h1＜ 。
∴当0＜h1＜ 时，S随h1的增大而减小；
当h1= 时，S取得最小值 ；
当 ＜h1＜ 时，S随h1的增大而增大。
【考点】平行的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等量代换，，二次函数的性质。
【分析】（1）由全等三角形对应高相等的性质证明即可。
（2）由△BCG≌△CDH，应用勾股定理即可证得。
(3)将已知的 3 2h1＋h2＝1化为 h2＝1－ 3 2h1代入（2）的结论： S＝(h1＋h2)2＋h12，得到S关于 h1的二次函数，应用二次函数增减性的性质进行讨论即可。