Question

tan(x)- sin(x)有无穷小量吗？

Answer 1

要确定当 x 趋近于某个特定值时，tan(x) - sin(x) 的等价无穷小，我们需要在该特定值处对该表达式进行极限运算。

当 x 趋近于 0 时，我们可以计算 tan(x) 和 sin(x) 的近似值，然后计算它们的差值。使用泰勒级数展开，我们可以得到：

tan(x) ≈ x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ...
sin(x) ≈ x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 - ...

因此，tan(x) - sin(x) 可以近似表示为：

tan(x) - sin(x) ≈ (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ... - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 - ...

简化得到：

tan(x) - sin(x) ≈ (1/3 - 1/6)x^3 + (2/15 + 1/120)x^5 + ...

继续简化，我们得到：

tan(x) - sin(x) ≈ (1/6)x^3 + (17/180)x^5 + ...

因此，当 x 趋近于 0 时，tan(x) - sin(x) 的等价无穷小为 (1/6)x^3 + (17/180)x^5 + ...，即 O(x^3)。这表示在 x 趋近于 0 时，它的值相比 x^3 更小，可以忽略不计。