Question

已知定义在R上的函数f（x)满足f(x)=-f(x+3),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2）+f(3)+…+f(2011)=?

Answer 1

f(x)=－f(x＋3)，则f(x＋3)=－f(x＋6)，即：f(x)=f(x＋6)，则函数f(x)的周期是6，且f(1)=－f[(－2)＋3]=f(－2)=－1，f(2)=－f(－1)=1，f(3)=f(0)=2，f(4)=－f(1)=1，f(5)=－f(2)=－1，f(6)=f(0)=2，则：f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)=4，则：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)=335×4＋f(2010)=1340＋f(1)=1339

Answer 2

∵ f(x)=-f(x+3), ∴f(x)周期为3.
∵ f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,
∴f(1)=f(1-3)=f(2)=-1,
f(2)=f(2-3)=f(-1)=-1,
f(3)=f(3-3)=f(0)=2；
f(4)=f(4-3)=f(1)=-1,
f(5)=f(5-3)=f(2)=-1,
f(6)=f(6-3)=f(3)=2；
………………………………
∵ 2011=3× 670+1
∴ 所求的和是一个这样的数列的2011项的和：
670个循环节+每个循环节的第一个数字。
所以有
f(1)+f(2）+f(3)+…+f(2011)=670× 0+(-1)=-1

Answer 3

∵ f(x)=-f(x+3), ∴f(x)周期为3.
∵ f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,
∴f(1)=f(1-3)=f(2)=-1,
f(2)=f(2-3)=f(-1)=-1,
f(3)=f(3-3)=f(0)=2；
f(4)=f(4-3)=f(1)=-1,
f(5)=f(5-3)=f(2)=-1,
f(6)=f(6-3)=f(3)=2；
………………………………
∵ 2011=3× 670+1
∴ 所求的和是一个这样的数列的2011项的和：
670个循环节+每个循环节的第一个数字。
所以有
f(1)+f(2）+f(3)+…+f(2011)=670× 0+(-1)=-1

f(x)=－f(x＋3)，则f(x＋3)=－f(x＋6)，即：f(x)=f(x＋6)，则函数f(x)的周期是6，且f(1)=－f[(－2)＋3]=f(－2)=－1，f(2)=－f(－1)=1，f(3)=f(0)=2，f(4)=－f(1)=1，f(5)=－f(2)=－1，f(6)=f(0)=2，则：f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)=4，则：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)=335×4＋f(2010)=1340＋f(1)=1339