Question

高中双曲线数学题在线解答

题目：直线L在双曲线x/3－y/2＝1，截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L在Y轴上的截距m。
是X2和Y2

Answer 1

直线L在双曲线x²/3－y²/2＝1，截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L在Y轴上的截距m。
解：设直线L的方程为y=2x+m，代入双曲线方程得：
2x²-3(2x+m)²=6，即有10x²+12mx+3m²+6=0；设L与双曲线的两个交点为A(x₁，y₁)；
B(x₂，y₂)；依韦达定理有：
x₁+x₂=-12m/10=-6m/5
x₁x₂=(3m²+6)/10
y₁+y₂=2x₁+m+2x₂+m=2(x₁+x₂)+2m=-12m/5+2m=-2m/5
y₁y₂=(2x₁+m)(2x₂+m)=4x₁x₂+2m(x₁+x₂)+m²=(6m²+12)/5-(12m²/5)+m²=-(m²-12)/5
弦长︱AB︱=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]
=√{36m²/25+4m²/25-4[(3m²+6)/10-(m²-12)/5]}=√[(6m²-60)/5]=4
平方去根号得6m²-60=80，6m²=140，m²=140/6=70/3，故m=±√(70/3)

Answer 2

设直线方程y=2x+b，将y代入方程
2x^2-3(2x+b)^2=6
2x^2-3(4x^2+4bx+b^2)=6
2x^2-12x^2-12bx-3b^2=6
10x^2+12bx+3b^2+6=0
因为截得的弦长为4，斜率为2，所以2点X的距离为4/根号5(直角三角形)
然后利用韦达定理x1+x2，x1*x2的关系得出x1-x2=4/根号5，解方程得出b，b即为截距m
x1+x2=-b/a=-12b/10
x1*x2=c/a=(3b^2+6)/10
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(6b/5)^2-4(3b^2+6)/10
=36b^2/25-2(3b^2+6)/5=(4/根号5)^2=16/5
36b^2-30b^2-60=5*16
6b^2=140
b^2=70/3
b=±(70/3)根号
老实说这题目不算难，但是计算很复杂，考试要是碰这样的题算你倒霉

Answer 3

本题主要考察了弦长公式的应用，属于圆锥曲线的常规题。

Answer 4

设y=2x+m，代入x²/3-y²/2=1得
10x²+12mx+3m²+6=0
所以△=(12m)²-40(3m²+6)=24(m²-10)
所以4=√(1+2²)*√24(m²-10)/10
解得m²=70/3，m=±√210/3