Question

常微分方程

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A，已知|MA|=|OA|，且L过点（3/2,3/2），求L的方程。

Answer 1

设L上任一点(x0,y0)，切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0)，与y轴交点A(0,y0-f'(x0)x0)，由|MA|^2=|OA|^2得微分方程为x^2+x^2*(f'(x))^2=y^2-2xyf'(x)+x^2*(f'(x))^2，即2xyy'+x^2-y^2=0。令函数g=y^2，得xg'(x)+x^2-g(x)=0，且条件L过点(3/2,3/2)变为g(3/2)=(3/2)^2。微分方程通解为g(x)=Cx-x^2，再由g(3/2)=(3/2)^2知C=3，因此y=根号(g)=根号(3x-x^2)，定义域为0<x<3。