Question

求圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长

Answer 1

x2+y2-4=0（1）
x2+y2-4x+4y-12=0（2）
（1）-（2）得
4x-4y+8=0
=y-2 (3)
(3)代入（1）得
y^2-4y+4+y^2-4=0
2y^2-4y=0
解得y1=0
y2=2
代入(3)式解得
x1=-2
x2=0
所以公共弦长=√[(x1-x2)^2+(y1- y2)^2]=√8=2√2

Answer 2

设公共弦为AB
x²+y²-4=0 ……①
x²+y²-4x+4y-12=0 ……②
① － ②，得：
4x-4y+8=0 ……③
即：x-y+2=0，这就是公共弦所在的直线。 (不懂的话，看下面的备注)
圆x²+y²-4=0圆心为O(0，0)，半径r=2
圆心O到公共弦的距离为
d=2/√2=√2
∴|AB|/2=√(r²-d²)=√2
∴|AB|=2√2

备注：
设方程组的根为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴A可以代入①、②中
再用①－②，得4x1-4y1+8=0，即x1-y1+2=0
同理可得x2-y2+2=0
∴A(x1，y1)，B(x2，y2)同时满足方程x-y+2=0
∴AB在直线x-y+2=0上