Question

证明：设A施n阶实对称矩阵，则A正定的充要条件是存在可逆矩阵D使得A等于D的转置*D成立

Answer 1

证明如下：

若A正定，则存在正交阵Q，使得Q^TAQ＝B＝diag(b1，b2，....，bn)为对角阵，且对角元bi都是正数。记C＝diag(c1，c2，...，cn)，其中ci=根号(bi)，i＝1，2，...，n。令D＝CQ^T是可逆阵，则D^TD=QC^TCQ^T=QBQ^T=A。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

Answer 2

若A正定，则存在正交阵Q，使得Q^TAQ＝B＝diag(b1，b2，....，bn)为对角阵，且对角元bi都是正数。记C＝diag(c1，c2，...，cn)，其中ci=根号(bi)，i＝1，2，...，n。则有C^2＝D，且C是对称阵。令D＝CQ^T是可逆阵，则D^TD=QC^TCQ^T=QBQ^T=A。
反之，若D可逆满足A＝D^TD，则对任意的非零向量x，有y＝Dx不为0，于是x^TAx=x^TD^TDx=(Dx)^T(Dx)＝y^Ty=y1^2+y2^2+...+yn^2>0，其中yi是y的第i个分量。