Question

高一数学两角和与差的正弦，证明题

Answer 1

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明

如图

我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

在标准圆中.AB为直径.长度为1  由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.

令角A为角BAC

角B为角DAC

则角(A-B)为角BAD

证明如下:

cos(A-B)=AD/AB=AD  ①cosA=AC/AB=AC  ②sinA=BC/AB=BC  ③cosB=AE/AC   ④sinB=CE/AC

联立①③可知  cosB=AE/cosA  即cosAcosB=AE.

所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB  

又AD=AE+ED  即只要证明sinAsinB=ED即可

即要证明BC*CE/AC=ED

即要证明CE/AC=ED/BC

注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)

所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF

注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF

即可以证明CE/AC=EF/CF

即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB

由sinθ=cos(-θ)

得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]

=cos[(-α)-β]

=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ

又∵cos(-α)=sinα

sin(-α)=cosα

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ赞同10| 评论

Answer 2

在单位圆中取两点A(cosa,sina)，B(cosb,sinb)，原点O，则向量OA*OB=cosa*cosb+sina*sinb
由于OA*OB=|OA|*|OB|*cos∠AOB=1*1*cos(a-b)，可得cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
则sin(a-b)=cos(a-b-π/2)=cosa*cos(b+π/2)+sina*sin(b+π/2)=cosa*(-sinb)+sina*cosb
即sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb，代入-b即得sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb